uses WinInet, IdHTTP;

procedure InternetZagruzitFajl1(URL, f: string);
const MaxBuffer=65536;
var H1, H2: pointer;
    H3: integer;
    Buffer: array[1..MaxBuffer] of char;
    Count: cardinal;
begin
   H1:=InternetOpen('', 0, nil, nil, 0);
   try
   H2:=InternetOpenURL(H1, PChar(URL), nil, 0, 0, 0);
   If H2=nil then
   begin
      InternetCloseHandle(H1);
      Exit;
   end;
   try
   H3:=FileCreate(f);
   Count:=0;
   try
   Repeat
      InternetReadFile(H2, @Buffer, SizeOf(Buffer), Count);
      Count:=FileWrite(H3, Buffer, Count);
   Until Count<=0;
   finally
      FileClose(H3);
   end;
   finally
      InternetCloseHandle(H2);
   end;
   finally
      InternetCloseHandle(H1);
   end;
end;

procedure InternetZagruzitFajl2(URL, f: string);
const MaxBuffer=65536;
var LoadStream: TMemoryStream;
    idHTTP1: TIdHTTP;
    H3: integer;
    Count: cardinal;
    Buffer: array[1..MaxBuffer] of char;
begin
   LoadStream:=TMemoryStream.Create;
   idHTTP1:=TIdHTTP.Create(Application);
   try
   idHTTP1.Get(URL, LoadStream);
   except
      LoadStream.Free;
      idHTTP1.Free;
      Exit;
   end;
   H3:=FileCreate(f);
   If H3=-1 then
   begin
      LoadStream.Free;
      idHTTP1.Free;
      Exit;
   end;
   FileSeek(H3, 0, 0);
   LoadStream.Seek(0, 0);
   Repeat
      Count:=LoadStream.Read(Buffer, MaxBuffer);
      If Count>0 then
         FileWrite(H3, Buffer, Count);
   Until Count<=0;
   FileClose(H3);
   LoadStream.Free;
   idHTTP1.Free;
end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
const URL='http://newerow1989.narod.ru/list.txt';
      f1='E:\list1.txt';
      f2='E:\list2.txt';
begin
   InternetZagruzitFajl1(URL, f1);
   InternetZagruzitFajl2(URL, f2);
end;

где

URL - URL-файл в Интернете, который нужно скачать;

f - полное имя файла, сохраняемого на компьютере.